Szimplektikus integrátor

A szimplektikus integrátor (SI) a numerikus integrálás egy módszere, speciálisan a klasszikus mechanikában és a szimplektikus geometriában előforduló differenciálegyenletek megoldására.

A szimplektikus integrátorok a geometriai integrátorok alosztálya, melyek definíció szerint kanonikus transzformációk. Alkalmazásuk a molekuláris dinamikában, gyorsítófizikában és égi mechanikában fordul elő.

Bevezetés

A szimplektikus integrátorokat a Hamilton-egyenletek megoldására készítették:

${\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\quad {\mbox{and}}\quad {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},$

ahol $q$ a pozíció koordináták, $p$ a momentum koordináták, és $H$ a Hamilton függvény. $(q,p)$ koordináták együttesét kanonikus koordinátáknak hívják.(Hamilton-féle mechanika)

A legtöbb numerikus módszer, mint például az Euler-módszer, és a klasszikus Runge–Kutta-módszer, nem szimplektikus integrátorok.

A részekre osztás módszere

Feltételezzük, hogy a Hamilton függvény részekre osztható, és felírható a következő formában:

$H(p,q)=T(p)+V(q).\qquad \qquad (1)$

T, a kinetikus energia V, a potenciális energia Vezessük be a $z=(q,p)$ szimbólumot, a kanonikus koordinátákra. Ekkor a bevezetőben említett Hamilton egyenletek kifejezhetők:

${\dot {z}}=\{z,H(z)\}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

Ahol $\{\cdot ,\cdot \}$ a Poisson zárójel. Továbbá bevezetjük a $D_{H}=\{\cdot ,H\}$ operátort. Ekkor:

${\dot {z}}=D_{H}z.$

A formális megoldás:

$z(\tau )=\exp(\tau D_{H})z(0).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$

Így:

$z(\tau )=\exp[\tau (D_{T}+D_{V})]z(0).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$

Az SI kifejezés közelít az idő-haladó operátorhoz a (4)-es kifejezésben egy operátor szorzataként:

$\exp[\tau (D_{T}+D_{V})]=\prod _{i=1}^{k}\exp(c_{i}\tau D_{T})\exp(d_{i}\tau D_{V})+O(\tau ^{k+1}),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$

ahol $c_{i}$ és $d_{i}$ valós számok, és $k$ egy egész szám, melyet az integrátor rendszámának hívnak.

$\exp(c_{i}\tau D_{T})$ és $\exp(d_{i}\tau D_{V})$ operátorok szimplektikus leképzést adnak, így a szorzatuk az (5)-ben, szintén egy szimplektikus leképzést ad. Konkrét kifejezésben, a $\exp(c_{i}\tau D_{T})$ adja:

${\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q'\\p'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q+\tau c_{i}{\frac {\partial T}{\partial p}}(p)\\p\end{pmatrix}}$

és $\exp(d_{i}\tau D_{V})$ adja

${\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q'\\p'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q\\p-\tau d_{i}{\frac {\partial V}{\partial q}}(q)\\\end{pmatrix}}.$

Mindkét leképzés számítástechnikailag programozható.

Irodalom

• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard: Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. (hely nélkül): Springer. 2006. ISBN 978-3-540-30663-4  

Kapcsolódó szócikkek

• Numerikus integrálás
• Euler-módszer
• Differenciálegyenlet